| Zapas zabezpieczający (2) – dwie zmienne losowe |
|
| wtorek, 29. wrzesień 2009 , 13:48 |
|
|
W poprzednim odcinku (Zapas zabezpieczający - raz) przedstawiłem wzór, który poleca się w podręcznikach do wyznaczenia zapasu zabezpieczającego przy założeniu, że źródłem niepewności jest tylko wartość popytu. Przyjmuje się, że wartość cyklicznych dostaw, cykl tych dostaw oraz cykl pobrań z magazynu są wartościami stałymi.
Jednak w literaturze przedmiotu można znaleźć wzór, w którym dla lepszego ujęcia rzeczywistości występuje dodatkowy element niepewności, tzn. zmienny czas realizacji dostaw.
Te dwie zmienne losowe umożliwiając uwzględnienie wpływu dwóch głównych źródeł niepewności, lepiej obejmują to, co jest niepewne w dostarczaniu i odbieraniu towarów.
Bezpośrednią konsekwencją tego, że są dwa źródła niepewności jest większe odchylenie standardowe wspólnego występowania zmiennych, czyli w tym przypadku różnicy pomiędzy popytem a podażą. Oznacza to, że jeśli dostawy napływają do magazynu cyklicznie w losowych odstępach czasu, a klienci zgłaszają się po losowe ilości tego towaru, to z większym prawdopodobieństwem może się zdarzyć tak, że dla któregoś z nich towaru zabraknie.
Tym samym zapas zabezpieczający przed niezrealizowaniem popytu powinien być większy. Jest to zapewnione przez większą wartość ð we wzorze na zapas zabezpieczający  .
Do wyznaczenia nowego ð wykorzystuje się wzór na odchylenie standardowe różnicy dwóch zmiennych losowych. Zwykle traktuje się to jako oczywiste wykorzystanie statystyki, więc nie ma potrzeby wyprowadzania tego wzoru. Wzór, jaki można znaleźć w literaturze przedmiotu oraz w podręcznikach ma zwykle postać  .
Ze stosowaniem tego wzoru wiążą się dwa zastrzeżenia.
Pierwsze dotyczy objaśnienia zmiennych. Zwykle podaje się bowiem, że ðp to odchylenie standardowe popytu, T to cykl uzupełnienia dostaw ðt to odchylenie standardowe cyklu uzupełnienia dostaw, a P to popyt z zastrzeżeniem, że odnosi się to do jakiejś jednostki czasu, co może sugerować, że raczej chodzi o intensywność popytu.
Jeśli traktować P jak popyt, to jeden składnik to [szt.2dn.], a drugi to [szt.2dn.2] i nie tylko po pierwiastkowaniu nie dają [szt.], ale nie można ich sumować. Podobnie problemu nie rozwiązuje nawet interpretowanie P i ðp jako intensywności popytu, gdyż wówczas jednostkami składników są [szt.2/dn.] i [szt.2].
E. Silver, D. Pyke, R. Peterson, autorzy książki „Inventory Management and Production Planning and Scheduling” (wyd. 3, Wiley, New York 1998) powołują się na uwagę prof. Kanrana Moinzadeha, że wartości T, a tym samym i ðt są bezwymiarowe gdyż określają liczby odcinków czasu. Dlatego pod pierwiastkiem są [szt.2] i po pierwiastkowaniu otrzymuje się [szt.]. Taki komentarz oznacza jednak, że wartością okresu dostawy musi być wielokrotność okresu, na jaki określa się jednostkowy popyt.
Zamiast jednak domyślać się co autorzy podręczników mieli na myśli, można wyprowadzić wzór na odchylenie standardowe przyjętych zmiennych losowych, tzn. wielkości dostawy i popytu.
Najpierw zmienna losowa będąca sumą  popytów w okresie dostawy Td. Jej odchylenie standardowe jest zatem równe  . Z kolei druga zmienna w przypadku magazynu to czas uzupełniania dostaw i nie byłoby jej jak porównywać z wartością popytu. Dokonuje się zatem przeliczenia czasu dostawy na wartość dostawy, mnożąc wartość losową czasu przez średnią intensywność popytu. Jej odchylenie standardowe wynosi  . Ponieważ odchylenie standardowe różnicy dwóch zmiennych losowych jest pierwiastkiem sumy kwadratów ich odchyleń standardowych, to  .
Zastosowane oznaczenia zmiennych są następujące: ðp – odchylenie standardowe intensywności popytu [szt./dn.], Td – czas reakcji na zamówienie [dn.], Tp – odstęp pomiędzy pobraniami [dn.], st – odchylenie standardowe czasu dostawy [dn.], P – intensywność popytu [szt./dn.]. Jeśli przyjąć Tp = 1 i Td = T, to postać wzoru jest taka jak w literaturze, czyli  , ale pozorna niezgodność mian składników nie powinna już budzić niepokoju.
Wtedy też staje się zrozumiały model matematyczny, jaki użyto do opisu sytuacji w magazynie, a którego dotyczy drugie i poważniejsze zastrzeżenie do tego wzoru. Zjawisko statystyczne, któremu odpowiada przyjęty wzór na odchylenie standardowe polega na tym, że zbiera się k wartości zmiennej losowej o rozkładzie prawdopodobieństwa popytu i porównuje się ich sumę z wartością innej zmiennej losowej odpowiadającej wielkości dostawy. Jeśli suma losowych popytów jest większa od losowej wartości dostawy to przyjmuje się, że popyt nie został zaspokojony.
W rezultacie wartość losową sumarycznego popytu porównuje się ze sztucznie uzmiennioną wartością dostaw. Konsekwencją tego jest np. to, że prawdopodobieństwo niezaspokojenia popytu rośnie, gdy aktualny czas dostawy jest mniejszy od średniego, gdyż właśnie wtedy wyliczona dostawa jest mniejsza. W odniesieniu do liczb losowych wszystko jest w porządku, gdyż statystycznie nie jest ważne, która połowa dostaw jest mniejsza od średniej. Jednak jest to odmiennie niż w magazynie.
Po pierwsze nie sumuje się losowych wartości popytu, lecz odejmuje się je kolejno od zapasu w magazynie. Dopiero gdy bieżący popyt przekracza aktualny zapas w magazynie to nie jest on realizowany. Jeśli jest to k-te pobranie, to można przyjąć – tak jak w modelu statystycznym – że z danej dostawy nie został zaspokojony nie tylko indywidualny ale także sumaryczny popyt. Ale może się też zdarzyć, że następny popyt zostanie zaspokojony bo jest akurat mniejszy od tego co zostało w magazynie.
Po drugie zaspokajanie kolejnej partii popytów może się zacząć dopiero wtedy, gdy dostawa dotrze do magazynu. Jeśli dostawa się opóźnia to kolejne popyty mogą nie być zaspokajane, do czasu jej nadejścia.
Po trzecie dostawy są gromadzone w magazynie, więc to, czego nie pobrano z jednej dostawy zwiększa możliwość zrealizowania następnego popytu.
Żadne z tych zjawisk nie jest uwzględniane w przyjętym modelu statystycznym. Dlatego aż się prosi o sprawdzenie, jak teoria ma się do tego, co się dzieje w magazynie.
Utrudnieniem jest to, że w literaturze przedmiotu występują dwa różne ujęcia wskaźnika oceniającego poziom obsługi. Jedno to prawdopodobieństwo niewystąpienia braku w zapasie, a drugie – stopień ilościowej realizacji zamówień.
Pierwsze interpretuje się jako prawdopodobieństwo tego, że w okresie od chwili złożenia zamówienia, do chwili zrealizowania kolejnej dostawy wszystkie pobrania zostaną obsłużone. Jest to w istocie prawdopodobieństwo tego, że suma pobrań z magazynu przypadających średnio na okres dostawy jest mniejsza od dostawy. |
